Soal OSN Matematika SMA 2009

1. Tentukan banyaknya bilangan n ∈ {1, 2, 3, ⋅⋅⋅, 2009} sedemikian sehingga 4n6 + n3 + 5 habis dibagi 7.

2. Misalkan untuk setiap bilangan real x didefinisikan ⎣x⎦ sebagai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Diberikan a1, a2, a3, ⋅⋅⋅ suatu barisan bilangan asli yang memenuhi a1+1/a2=a2+1/a3=a3+1/a4=... . Buktikan bahwa an+1/a(n+1)<1 untuk setiap bilangan asli n.

3. Pada segitiga ABC, titik-titik D, E dan F berturut-turut terletak pada segmen BC, CA dan AB. Nyatakan P sebagai titik perpotongan AD dan EF. Tunjukkan bahwa AD/AFxDC + AC/AExDB + AD/APxBC

4. Di suatu pulau terdapat 7 kota dan ada jaringan kereta api yang melalui kota-kota tersebut. Setiap segmen rel menghubungkan tepat 2 kota, dan diketahui bahwa setiap kota memiliki paling sedikit 3 segmen ke kota lain. Buktikan bahwa terdapat rute perjalanan kereta api yang mengunjungi 4 kota yang berbeda masing-masing sekali dan kembali ke kota asalnya. (Contoh : rute A − B − C − D − A)

5. Di dalam suatu laci terdapat paling banyak 2009 bola yang terdiri dari bola putih dan biru yang tercampur secara acak. Jika dua bola diambil secara acak tanpa pengembalian, maka diketahui probabilitas bahwa terambil keduanya bola warna putih atau keduanya bola warna biru adalah 21 . Berapa banyak maksimum bola putih yang mungkin berada dalam laci sedemikian sehingga pernyataan tentang probabilitas tersebut tetap terpenuhi ?

6. 6. Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari fungsi f(x) = x2008 − 2 x2007 + 3 x2006 − 4 x2005 + 5 x2004 + ⋅⋅⋅ − 2006 x3 + 2007 x2 − 2008x + 2009 untuk sebarang bilangan real x.

7. Suatu pasangan bilangan bulat (m, n) dikatakan baik bila m⏐n2 + n dan n⏐m2 + m Diberikan sebarang dua bilangan asli a, b > 1 yang relatif prima, buktikan bahwa terdapat pasangan baik (m, n) dengan a⏐m dan b⏐n tetapi a tidak membagi n dan b tidak membagi m.

8. Diberikan segitiga ABC lancip. Lingkaran dalam segitiga ABC menyinggung BC, CA, dan AB berturut-turut di D, E, dan F. Garis bagi sudut A memotong DE dan DF berturut-turut di K dan L. Misalkan AA1 adalah garis tinggi dan M titik tengah BC. (a) Buktikan bahwa BK dan CL tegak lurus garis bagi sudut BAC (b) Tunjukkan bahwa A1KML adalah segiempat talibusur

Soal dan Kunci Jawaban OSK Geografi 2019

1. Keterkaitan semua subsistem iklim yang demikian kompleks namun terintegrasi disebut sebagai …

a. iklim

b. cuaca

c. sistem iklim

d. sistem cuaca

e. siklus perubahan iklim

2. Atmosfer terdiri dari tiga komponen, yaitu udara kering, uap air, dan …

a. awan

b. argon

c. gas permanen

d. aerosol

e. gas mulia

3. Parameter cuaca yang paling membedakan wilayah tropis dengan wilayah subtropis dan kutub adalah …

a. angin

b. temperatur

c. tekanan

d. kelembaban relatif

e. curah hujan

4. Gaya Coriolis akan membelokkan arah angin yang bergerak di belahan bumi utara ke arah …

a. kanan

b. kiri

c. lurus

d. sejajar isoterm

e. memutar

5. Angin muson dapat menghasilkan curah hujan bila membawa kelembaban tinggi akibat melewati suatu wilayah perairan yang luas. Salah satu ciri dari angin muson adalah …

a. pembalikan arah angin minimal 100 derajat pada bulan Januari dan Juli

b. kecepatan angin minimal 3 meter per detik

c. angin berbalik arah 180 derajat

d. frekuensi rata-rata arah angin utama 30%

e. pola tekanan berubah-ubah dengan cepat

6. Hujan yang sering timbul di daerah pegunungan biasanya diakibatkan oleh massa udara yang melewati sisi depan gunung banyak membawa uap air. Hujan yang terjadi di wilayah pegunungan disebut sebagai hujan …

a. zenital

b. konvektif

c. orografis

d. konvergensi

e. frontal

7. Radiasi matahari yang masuk ke dalam sistem bumi akan ditransmisikan, direfleksikan, diabsorpsi, dibiaskan, dan dihamburkan ke segala arah oleh partikel-partikel yang ada di atmosfer. Perbandingan antara radiasi yang diserap dan yang diterima disebut sebagai …

a. albedo

b. absorptivitas

c. reflektivitas

d. transmisivitas

e. hamburan

8. Faktor utama yang menyebabkan pola refraksi gelombang yang konvergen di tanjung dan divergen di teluk adalah ...

a. arah angin

b. batimetri

c. jenis sedimen

d. kecuraman gelombang

e. perbedaan waktu datang gelombang

9. The Great Pasific Garbage Patch adalah akumulasi sampah permukaan laut terbesar di dunia. Penyebab utama sampah ini terakumulasi di bagian tengah Samudera Pasifik …

a. Wilayah pesisir Samudera Pasifik adalah kota-kota megapolitan dengan kontribusi sampah terbesar di bumi.

b. Gelombang laut yang lebih tenang menyebabkan sampah sampah disana sulit terurai.

c. Tekanan udara yang lebih rendah menyebabkan angin-angin membawa sampah berkumpul di tengah Samudera Pasifik.

d. Sampah tersebut terjebak akibat putaran arus-arus yang membentuk gyre di Pasifik.

e. Fenomena El-Nino dan LaNina yang rutin terjadi di Samudera Pasifik.

10. Penyebab utama terumbu karang lebih banyak ditemukan di Pesisir Utara Jawa dibandingkan di Pesisir Selatan Jawa adalah …

a. suhu

b. nutrien di laut

c. salinitas

d. gelombang dan arus

e. kejernihan air

11. Pembentukan spit paling banyak terjadi di dunia akibat gerakan ...

a. arus sungai

b. arus sejajar pantai

c. rip current

d. arus pasang surut

e. arus upwelling dan downwelling

12. Alat di bawah ini yang dapat digunakan untuk ‘membantu’ menemukan puing-puing pesawat jika tenggelam di dasar laut, kecuali ...

a. Multibeam Echosounder

b. Side Scan Sonar

c. Remotely Operated Underwater Vehicle

d. Magnetometer

e. Current Meter

13. Sistem peringatan dini Tsunami dengan berbasis pada pengamatan pelampung di lepas pantai menjadi tidak efektif di Indonesia, karena:

a. sosialisasi yang kurang

b. lokasinya terlalu jauh

c. kejadiannya jarang

d. ketergantungan teknologi

e. tidak berbasis masyarakat

14. Kawasan rawan banjir dapat dikenali dengan mudah melalui interpretasi citra penginderaan jauh maupun peta rupa bumi, melalui …

a. elevasi dan asosiasi dengan sungai

b. tutupan lahan dan elevasi

c. morfologi bentuklahan

d. genesis wilayah dataran

e. asosiasi dengan rawan pasang surut

15. Masyarakat di kawasan pesisir dapat beradaptasi dengan baik terhadap ancaman Rob, dalam bentuk …

a. jejaring jalan kota

b. struktur rumah

c. moda transportasi

d. aktivitas ekonomi

e. organisasi masyarakat

16. Pengurangan risiko kekeringan berbasis masyarakat dapat dilakukan dengan menerapkan konsep berikut …

a. Pembangunan kolam retensi.

b. Pemanenan air hujan.

c. Sistem sumur resapan.

d. Pembuatan sengkedan/terasering.

e. Penghutanan kembali.

17. Mitigasi nonstruktural dasar yang banyak diterapkan pada setiap kawasan rawan bencana adalah …

a. Penyusunan tata ruang wilayah.

b. Pembuatan bangunan mitigasi.

c. Masyarakat tangguh bencana.

d. Sistem peringatan dini masal.

e. Sosialisasi program pembangunan.

18. Risiko bencana kebakaran lahan di kawasan gambut yang telah dimanfaatkan untuk berbagai kegiatan pembangunan dapat dilakukan dengan cara …

a. membuat bendung

b. sistem kanal air

c. rebosiasi hutan

d. sistem tanggul

e. adaptasi kegiatan

19. Rencana tata ruang didasarkan atas konsep pengurangan risiko bencana dapat dilihat dalam hal berikut …

a. Pemberdayaan masyarakat.

b. Menghindari kawasan rawan.

c. Banyak usaha mitigasi struktural.

d. Penyesuaian kegiatan pembangunan.

e. Penerapan standar bangunan rumah.

20. Gempa bumi merupakan ancaman bencana yang bersifat regional di Indonesia, karena …

a. Banyak gunungapi aktif.

b. Wilayah struktur graben.

c. Sistem sesar saling memotong.

d. Merupakan kepulauan.

e. Dikelilingi zona subduksi.

21. Sumber utama panas yang digunakan untuk menghasilkan energi listrik pada Pembangkit Listrik Tenaga Geotermal (PLTG) adalah ...

a. Air danau yang mendidih, diproduksi ketika lava mengalir ke danau.

b. Cairan sangat panas dari inti luar bumi.

c. Air tanah yang melakukan kontak dengan batuan panas.

d. Panas dari gesekan saat terjadi patahan.

e. Panas dari bumi yang menggerakkan langsung turbin.

22. Perhatikan gambar di bawah ini!

Pada ilustrasi di atas, jenis sumber daya energi yang sedang diekstraksi adalah ...

a. minyak bumi

b. gas serpih

c. uranium

d. geotermal

e. gas konvensional

23. Berikut ini grafik penggunaan air di Sydney tahun 2008. Berapa persen cadangan air di Sydney yang digunakan untuk toilet ?

a. 10

b. 16

c. 20

d. 27

e. 54

24. Berikut ini yang tidak dikategorikan sebagai metode konservasi air adalah ...

a. Rainwater harvesting.

b. Groundwater extraction.

c. Irrigation efficiency.

d. Watersheds conservation.

e. Wastewater treatment.

25. Berdasarkan peta di samping, negara mana yang diperkirakan akan mengalami konflik terkait sumberdaya energi?

a. A dan B

b. B dan C

c. C dan D

d. D dan A

e. C dan A

26. Seorang insinyur dan timnya melakukan survei geologi dan geofisika untuk mendeteksi wilayah yang berpotensi sebagai cadangan minyak bumi. Kegiatan yang dilakukan insinyur tersebut dan timnya ini disebut sebagai …

a. eksploitasi

b. eksplorasi

c. pertambangan

d. ekspedisi

e. survei geoteknik

27. Faktor utama yang paling dominan atas berkurangnya keanekaragaman hayati adalah ...

a. predator

b. penebangan hutan

c. perusakan habitat

d. berburu

e. konservasi

28. Pulau Sumatera, Jawa, Bali, hingga Lombok merupakan pulau-pulau di Indonesia dengan aktivitas gempa dan gunungapi yang sangat tinggi. Hal ini diakibatkan oleh interaksi lempeng tektonik, yaitu …

a. Subduksi antara lempeng Pasifik dengan lempeng Eurasia.

b. Kolisi antara lempeng Pasifik dengan lempeng Indo-Australia.

c. Subduksi antara lempeng Eurasia dengan lempeng Indo-Australia.

d. Kolisi antara lempeng Eurasia dengan lempeng Pasifik.

e. Subduksi antara lempeng Indo-Australia dengan lempeng Pasifik.

29. Perhatikan fenomena di bawah ini! (1) Vulkanisme (2) Pelapukan (3) Gempabumi (4) Sedimentasi (5) Erosi. Manakah yang termasuk contoh proses eksogen adalah …

a. 1, 2, dan 3

b. 1, 2, dan 4

c. 1, 2, dan 5

d. 2, 3, dan 4

e. 2, 4, dan 5

30. Di bawah ini merupakan bukti gunungapi mempengaruhi manusia, kecuali…

a. Abu erupsi merusak mesin pesawat sehingga membahayakan penerbangan.

b. Tanah hasil letusan tidak subur.

c. Aliran piroklastik merusak rumah, kebun, dan dapat menyebabkan korban jiwa.

d. Sumber energi geothermal.

e. Erupsi besar dapat menyebabkan perubahan iklim.

31. Alasan di Indonesia banyak terjadi gempa seperti gempa Lombok dan Palu yang terjadi di tahun 2018 adalah …

a. Indonesia merupakan negara maritim.

b. Indonesia banyak terdapat gunungapi.

c. Indonesia terletak di khatulistiwa.

d. Indonesia banyak daerah sesar aktif yang merupakan akibat dari interaksi lempeng-lempeng tektonik.

e. Indonesia terbentuk pada masa kuarter muda.

32. Cara para ahli geologi dapat mengetahui bahwa lapisan-lapisan di dalam bumi terdiri dari kerak, mantel, inti luar, dan inti dalam adalah …

a. Melakukan pengeboran.

b. Menggunakan gelombang gempa/seismik.

c. Penelitian di kawah gunungapi.

d. Menggunakan magnet.

e. Melihat ilustrasi di buku-buku sains fiksi.

33. Perubahan apa sajakah yang terjadi pada proses pelapukan batuan?

a. Perubahan warna saja.

b. Perubahan kimia saja.

c. Perubahan fisika dan kimia.

d. Perubahan kekerasan saja.

e. Perubahan organik.

34. Di bawah ini adalah merupakan proses erosi, kecuali …

a. Erosi gravitasi – perpindahan material menuruni lereng akibat kekuatan gravitasi.

b. Erosi air – erosi yang diakibatkan oleh tetesan hujan ataupun hujan deras.

c. Erosi pantai – terjadi akibat arus dan gelombang.

d. Erosi angin – perpindahan material disebabkan oleh angin.

e. Erosi panas – erosi yang disebabkan oleh matahari.

35. Bangunan harus diadaptasi untuk mengatasi gempabumi melalui upaya …

a. Menggunakan kaca sebagai material utama dari suatu bangunan.

b. Membangun bangunan sangat berdekatan antara satu dengan yang lain.

c. Membangun bangunan yang tinggi.

d. Menggunakan peredam guncangan dari karet untuk menyerap getaran bumi.

e. Menggunakan bahan bangunan yang keras.

36. Tipe pencemaran lingkungan dapat diklasifikasikan berdasarkan jenis pencemarnya, yaitu pencemar biologi, kimia dan fisik. Contoh pencemar biologi adalah:

a. pupuk

b. deterjen

c. sampah plastik

d. bakteri berbahaya

e. sedimen tersuspensi

37. Aliran energi dan materi yang terjadi pada interaksi di sebuah ekosistem terjadi melalui rantai dan jaring makanan. Perbedaan paling utama dalam proses aliran energi dan materi tersebut adalah …

a. Energi mengalir dari konsumen ke produsen sementara materi mengalir dari produsen ke konsumen.

b. Materi mengalir dalam bentuk siklus (tidak ada yang hilang dalam rantai makanan), sementara energi dapat hilang dalam alirannya.

c. Energi awal yang diproduksi oleh produsen dalam rantai makanan berasal dari pengurai, sementara materi berasal dari matahari.

d. Seluruh energi akan sampai ke dekomposer sementara hanya sebagian materi yang akan sampai ke pengurai.

e. Sebagian materi akan keluar atau terbuang dari suatu jaring makanan, sementara tidak ada energi yang akan terbuang dalam jaring makanan tersebut.

38. Pada siklus karbon, baik atmosfer, hidrosfer, litosfer, maupun biosfer merupakan media penyimpan karbon. Proses yang dapat menyebabkan karbon yang tersimpan di atmosfer terpindahkan ke biosfer adalah …

a. penebangan hutan

b. pembakaran bahan bakar fosil

c. hujan

d. fotosintesis

e. proses pernafasan pada manusia dan binatang

39. Baku Mutu Udara Emisi adalah batas kadar yang diperbolehkan bagi zat atau bahan pencemar untuk dikeluarkan dari sumber pencemar ke udara, sehingga tidak mengakibatkan dilampauinya baku mutu udara ambien. Berikut adalah zata atau bahan pencemar yang diatur kadarnya, kecuali …

a. Oksigen (O2)

b. Karbon monoksida (CO)

c. Nitrogen dioksida (NO2)

d. Sulfur dioksida (SO2)

e. Timbal (Pb)

40. Adanya konversi lahan dari ekosistem mangrove menjadi lahan tambak dapat menimbulkan kerusakan lingkungan dan kerugian antara lain, kecuali …

a. meningkatnya erosi pantai

b. berkurangnya penyerapan karbon di atmosfer

c. tidak adanya tempat pemijahan ikan secara alami

d. tidak adanya sabuk hijau peredam gelombang tinggi dan tsunami

e. meningkatnya banjir pada saat musim hujan

41. Salah satu faktor penyebab pemanasan global adalah meningkatkan kadar gas rumah kaca di atmosfer. Gas manakah di bawah ini yang bukan merupakan gas rumah kaca?

a. Uap air (H2O)

b. Argon (Ar)

c. Karbon dioksida (CO2)

d. Metana (CH4)

e. Ozon (O3)

42. Salah satu upaya untuk pembangunan berkelanjutan adalah membangun sumber pembangkit listrik yang berbasiskan energi terbarukan. Dari sumber energi terbarukan yang tersedia di bawah ini, manakah yang paling besar kemungkinannya untuk diimplementasikan di Indonesia?

a. panas bumi

b. gelombang laut

c. angin

d. arus laut

e. bahan bakar bio (biofuel)

43. Implementasi pembangunan berkelanjutan melibatkan tiga aspek, yaitu lingkungan, sosial dan ekonomi dengan tujuan perlindungan lingkungan, kesejahteraan sosial, dan peningkatan ekonomi seperti pada gambar di bawah ini. Contoh implementasi kebijakan pembangunan Tol Laut di Indonesia yang berwawasan lingkungan adalah …

a. Pembangunan pelabuhan di kota-kota besar pesisir di Indonesia.

b. Pembangunan pelabuhan dengan memperhatikan faktor AMDAL.

c. Pengembangan infrastruktur jalur pelayaran dengan memperbanyak jalur pelayaran antar pulau di Indonesia tanpa melalui daerah tangkapan ikan.

d. Penambahan armada kapal untuk meningkatkan kapasitas angkut barang antar pulau.

e. Pengembangan infrastruktur dan peningkatan promosi pariwisata laut di seluruh wilayah Indonesia.

44. Pola pertanian subsisten yang dikomersialkan dan masih banyak dilaksanakan di kawasan Asia Tenggara adalah …

a. persawahan

b. ladang berpindah

c. tegalan

d. peternakan

e. perkebunan

45. Dalam produksi tanaman, esensi geografi pertanian mencakup proses …

a. mulai dari mengolah tanah sampai hasil dipanen

b. mulai benih tanaman disebar sampai menjadi hasil yang siap dijual

c. mulai dari membeli tanah hingga hasil siap dijual

d. mulai dari menyediakan lahan pertanian hingga hasil dipanen

e. mulai dari fase tumbuh tanaman hingga hasil siap dijual

46. Di antara kegiatan pertanian di bawah ini, yang bukan merupakan bentuk konservasi lahan untuk usaha pertanian adalah ...

a. sengkedan

b. contouring

c. crop rotation

d. agroforestri

e. tanam terpadu

47. Tidak hanya kuantitas, kualitas juga mempengaruhi asupan pangan manusia di dunia, yang menimbulkan berbagai permasalahan pada kesehatan manusia. Berikut jenis penyakit yang disebakan oleh menurunnya asupan kualitas pangan, kecuali ...

a. gizi buruk

b. obesitas

c. kwashiorkor

d. anemia

e. kelaparan

48. Berikut ini adalah tanaman pertanian di kawasan Fertile Crescent, kecuali ...

a. barley

b. gandum

c. anggur

d. lentils

e. kedelai

49. Aktivitas pertanian harus menerapkan prinsip “berkelanjutan”. Contoh implementasi prinsip tersebut adalah:

a. Menargetkan produktivitas tinggi untuk mengejar keuntungan komersil.

b. Menerapkan Panca Usaha Tani.

c. Mengintegrasikan aspek sosial-ekonomi dengan karakteristik lingkungan fisik.

d. Menjaga kelangsungan produksi pascapanen.

e. Mengutamakan pemanfaatan pupuk organik.

50. Kota didefinisikan dari banyak sudut pandang. Pengertian kota secara geografis adalah …

a. Wilayah dengan konsentrasi penduduk tertinggi.

b. Wilayah dengan komposisi masyarakat yang heterogen.

c. Wilayah dengan wilayah terbangun yang lebih padat dari pada wilayah sekitarnya.

d. Wilayah dengan kegiatan usaha yang sangat beragam.

e. Wilayah yang dibatasi dengan suatu garis batas.

51. Perkotaan di masa depan akan menampung persentase jumlah penduduk yang semakin meningkat. Hal ini akan menghasilkan beberapa kecenderungan perkembangan kota yang salah satunya merupakan trend negatif, yaitu …

a. Kota akan menjadi pusat perdagangan, keuangan, dan teknologi.

b. Kota akan menjadi pusat konflik antar ras dan golongan.

c. Kota akan menjadikan berkembangnya komunitas ketetanggaan yang memiliki identitas tertentu.

d. Kota akan menjadi kawasan yang menjaga kelestarian lingkungan yang seimbang.

e. Kota akan menjadi kota tempat berwisata dan menghabiskan hari tua.

52. Urbanisasi merupakan konsekuensi dari strategi pembangunan kota terutama yang didasarkan pada strategi …

a. Agropolitan

b. Growth Pole – Growth Center

c. Rural Development

d. Special Economic Zone

e. Green Belt City

53. Kota-kota di dunia yang masih mengalami dual-identity adalah …

a. Kota-kota di Asia Tenggara

b. Kota-kota besar di Amerika Serikat dan Kanada

c. Kota-kota kecil di Amerika

d. Kota-kota di Jepang

e. Kota-kota di Eropa

54. Kasus matinya kota (the death of city) akibat ketergantungan kehidupan kota pada suatu industri tertentu dapat ditemui di kota …

a. New York

b. Detroit

c. London

d. Calcutta

e. Bangkok

55. Peremajaan kota perlu diartikan sebagai revitalisasi permukiman perkotaan sehingga penduduk kota dapat hidup semakin nyaman sesuai dengan perkembangan jaman. Pendekatan manakah yang paling tidak sesuai untuk merealisasikan hal diatas?

a. Smart City

b. Green City

c. Crime City

d. Environment Friendly City

e. Cooperative City

56. Pola perkotaan pada umumnya mengikuti salah satu dari model-model berikut ini, kecuali …

a. Sektoral

b. Konsentrik

c. Inti Berganda

d. Green Belt

e. Rural Model

57. Perencanaan kota disusun untuk mengarahkan pertumbuhan kota agar akomodatif terhadap dinamika penduduk dan kelestarian lingkungan. Urutan proses perencanaan kota berikut ini mana yang paling tepat untuk diikuti …

a. Perumusan Tujuan – Pengumpulan Data dan Informasi – Analisis – Alternatif Rencana – Rencana Terpilih

b. Survei – Analisis – Perumusan Tujuan – Rencana – Alternatif Rencana

c. Analisis – Survei – Rencana – Alternatif Rencana

d. Rencana Terpilih – Pengumpulan Data dan Informasi – Survei – Analisis – Simpulan

e. Alternatif Rencana – Analisis – Pengumpulan data – Perumusan Tujuan

58. Geografi ekonomi merupakan salah satu cabang dari Geografi Manusia. Pengertian Geografi Ekonomi adalah …

a. Teori gabungan geografi dan ekonomi.

b. Penerapan teori geografi pada kasus-kasus ekonomi.

c. Teori geografi untuk ekonomi.

d. Kasus perekonomian di lokasi geografi.

e. Penerapan teori dasar ekonomi pada ruang geografi.

59. Aktivitas ekonomi kreatif pada ruang geografi yang dikembangkan akhir-akhir ini seperti contohnya adalah konsep ...

a. One Village One Product

b. All Village All Product

c. Product Development Creatively

d. Product and Marketing

e. Small and Medium Enterprises

60. Globalisasi merupakan proses interaksi antarnegara pada berbagai kegiatan termasuk kegiatan ekonomi terjadi akibat berkembangnya teknologi yang pesat terutama teknologi komunikasi dan transportasi. Perwujudan dalam pelaku ekonomi …

a. Multinational Corporation (MNC)

b. Local Corporation District

c. Central Business District (CBD)

d. Naamloze Vennootschap (NV)

e. Partnership 21 Century

61. Konsepsi yang harus dipahami, dihayati, dan diterapkan agar NKRI dapat berperan dan bertahan sebagai suatu kekuatan ekonomi adalah …

a. Wawasan Budaya Pancasila

b. Kawasan Ekonomi Khusus

c. Kawasan Konservasi Ekonomi

d. Wawasan Nusantara

e. Wawasan Ekopoleksosbud

62. Organisasi Negara-negara yang berhasil melakukan embargo minyak pada tahun 1973 adalah …

a. OKI

b. APEC

c. ILO

d. ICA

e. OPEC

63. Karakteristik teori lokasi industri adalah upaya mempertimbangkan berbagai faktor untuk keberhasilan industri. Faktor-faktor tersebut adalah sebagai berikut, kecuali …

a. bahan baku

b. tenaga kerja

c. bahan bakar

d. pemerintahan

e. teknologi

64. Teori lokasi untuk penetapan hierarki pusat-pusat permukiman yang dikenal dengan istilah Central Place Theory dikembangkan oleh …

a. Von Thunen

b. Christaller

c. Weber

d. Losch

e. Isaard

65. Model pemasaran internasional-global yang paling tua, paling banyak dilaksanakan adalah …

a. produksi di negara tujuan

b. licensing

c. ekspor-impor

d. franchising

e. international corporation

66. Pada umumnya negara berkembang (LEDC) memiliki keberlimpahan sumberdaya alam, namun belum dapat dikelola dengan maksimal. Kendala utamanya adalah …

a. keterbatasan modal yang tersedia

b. kualitas sumberdaya alam yang tidak begitu baik

c. kualitas sumberdaya manusia yang masih rendah

d. penguasaan pasar global yang tidak begitu baik

e. penguasaan teknologi yang masih rendah

67. “Setiap pergerakan di dalam ruang selalu menghadapi hambatan atau tahanan, kerena itu pergerakan dalam ruang memerlukan pengorbanan berupa biaya”. Filosofi itu oleh para ahli pembangunan disebut …

a. Land rent

b. Location rent

c. Movement cost

d. Richardian rent

e. Transportation cost

68. Pola dan aktivitas perdagangan yang didominasi oleh industri di wilayah yang lebih maju (core) menyebabkan daerah pinggiran (periphery) sulit untuk mengembangkan pasar bagi hasil-hasil industrinya. Hal tersebut menciptakan fenomena …

a. backwash effect

b. brain drain

c. capital out flow

d. spread effect

e. trickle down effect

69. Salah satu indikator yang dapat digunakan dalam mengukur tingkat pembangunan suatu negara adalah …

a. daya beli masyarakat

b. jumlah jam kerja

c. jumlah restoran cepat saji

d. pendapatan/gaji/upah

e. selera konsumsi masyarakat

70. Formulasi sebab-sebab bertambah buruknya ketimpangan perkembangan ekonomi antar wilayah dikemukakan oleh …

a. Christaller

b. Gunnar Myrdal

c. Losch

d. Von Thunen

e. Weber

71. Nama lain atau nomenklatur untuk Gross Domestic Product di Indonesia adalah …

a. Anggaran Pembangunan dan Belanja Daerah

b. Aset dan Kekayaan Daerah

c. Pendapatan Asli Daerah

d. Produk Domestik Regional Bruto

e. Produk Domestik Regional Netto

72. Berikut ini alasan kemiskinan sulit lepas dari negara-negara di Afrika, kecuali …

a. beban ketergantungan tinggi

b. jeratan utang luar negeri

c. neokolonialisme

d. penurunan jumlah penduduk

e. perang saudara

73. Sebagian besar penduduk dunia terkonsentrasi pada lintang 00 hingga 400 LU/LS. Kondisi tersebut menunjukkan betapa kuatnya pengaruh faktor …

a. iklim dan variasi permusimannya

b. tanah dan keanekaan biotik

c. topografi dan keanekaan vegetasi

d. morfologi wilayah dan ketersediaan fasilitas

e. kondisi sosial, budaya, dan kebijaksanaan pemerintah

74. Mobilitas penduduk merupakan suatu produk interaksi manusia dengan lingkungan yang melibatkan banyak indikator. Dari sekian banyak teori dan hasil penelitian, penyebab terjadinya mobilitas penduduk merujuk pada …

a. ketimpangan pembangunan antar daerah di suatu negara.

b. aspirasi kehidupan yang tidak terpenuhi.

c. daya dorong dan daya tarik wilayah yang sangat berbeda.

d. kekuatan sentrifugal dan sentripetal yang terus berproses.

e. keragaman potensi fisik dan sosial antar daerah.

75. Dari gambar di atas, pertumbuhan penduduk yang sangat tinggi akan terjadi pada tahap 2, sebab …

a. perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi kesehatan belum pesat.

b. angka kelahiran dan kematian masih pada fluktuasi yang rendah.

c. Keluarga Berencana belum menjadi gerakan yang membudaya.

d. angka kelahiran masih tinggi, dan kematian sudah mulai menurun.

e. kelahiran industri membuka lapangan kerja baru.

76. Menurut The Global Competitiveness Report Tahun 2017-2018 yang dikeluarkan World Economic Forum, Indonesia berada di peringkat ke-4 ASEAN dengan nilai 4,68. Hal tersebut, berarti …

a. Indonesia menempati peringkat ke-4 dalam perdagangan luar negeri.

b. Indonesia menempati peringkat ke-4 dalam perkembangan aplikasi teknologi.

c. Peringkat ke-4 dalam kerjasama ekonomi dengan luar negeri.

d. Peringkat ke-4 dalam daya saing ekonomi kreatif.

e. Menempati peringkat ke-4 dalam kemampuan bersaing ekonomi dengan negara-negara lain.

77. Perhatikan pernyataan-pernyataan di bawah ini! (1) Pendapatan rumah tangga. (2) Keharmonisan keluarga. (3) Diversifikasi lapangan pekerjaan (4) Ketersediaan waktu luang (5) Kondisi rumah dan aset. Indikator indeks kebahagiaan ditunjukkan oleh …

a. 1, 2, 3 dan 4

b. 2, 3, 4 dan 5

c. 1, 2, 4, dan 5

d. 1, 3, 4 dan 5

e. 1, 2, 3, dan 5

78. Perhatikan pernyataan-pernyataan di bawah ini! (1) Penambahan jumlah dan kepadatan penduduk. (2) Penetapan kawasan suburban sebagai hinterland. (3) Corak kehidupan non-agraris. (4) Variasi tataguna lahan. (5) Meningkatnya mobilitas permanen. Urbanisasi secara fisik dapat ditunjukkan oleh …

a. 1, 2 dan 3

b. 1, 3 dan 4

c. 1, 2 dan 4

d. 2, 3 dan 4

e. 3, 4 dan 5

79. Kebijaksanaan kependudukan Indonesia masih cenderung bersifat antinatalis. Hal tersebut dapat dilihat dari adanya indikator …

a. pendidikan kependudukan

b. peningkatan status dan peran wanita

c. gerakan wajib sekolah 12 tahun

d. gerakan Keluarga Berencana

e. peningkatan usia perkawinan

80. Pariwisata dikelompokkan sebagai suatu industri, karena …

a. bersifat produktif dan komersial.

b. memanfaatkan sumberdaya alam.

c. melibatkan banyak pelaku.

d. berdampak pada internasionalisasi suatu negara.

e. pemenuhan kebutuhan tersier.

81. Promosi pariwisata menjadi semakin mudah karena, kecuali …

a. didukung oleh teknologi informasi

b. pin point di google maps

c. semua orang punya ponsel pintar

d. start-up dan aplikasi wisata

e. unggahan dan review melalui media sosial

82. Berdasarkan data, wilayah manakah yang mengalami kenaikan jumlah wisatawan paling besar?

a. Afrika

b. Amerika

c. Asia dan Pasifik

d. Eropa

e. Timur Tengah

83. Dampak positif kegiatan pariwisata di negara berkembang adalah sebagai berikut, kecuali …

a. menjamurnya sekolah pariwisata dari tingkat vokasi sampai perguruan tinggi.

b. pekerjaan konstruksi oleh kontraktor lokal.

c. penambahan ekspatriat yang menjadi manajer resor dan hotel kawasan wisata.

d. perbaikan infrastruktur pendukung kegiatan wisata.

e. turis asing berbelanja produk lokal.

84. Berikut ini yang merupakan contoh kegiatan recuperational tourism adalah …

a. bernyanyi di karaoke

b. nonton Asian Games di Palembang

c. pijat dan sauna di spa

d. darmawisata ke Jogjakarta

e. ziarah ke petilasan Wali Songo

85. Kawasan ecotourism biasanya dikelola oleh …

a. agen wisata

b. BUMN

c. komunitas lokal

d. pemerintah

e. swasta

86. Multiplier effect dalam kepariwisataan merujuk pada …

a. berkurangnya jumlah hotel dan restoran karena sepi wisatawan

b. bertambahnya pengeluaran wisatawan untuk dibelanjakan

c. bertambahnya wisatawan tapi tidak dibelanjakan di lokasi wisata

d. pendapatan masyarakat lokal di lokasi wisata tetap sama

e. penurunan pendapatan masyarakat lokal di lokasi wisata

87. Perhatikan peta rute perjalanan kapal pesiar Beijing-Singapura berikut ini Rute transit ke 3 adalah di pelabuhan kota

a. Bangkok

b. Chiang Mai

c. Ho Chi Minh City

d. Hongkong

e. Macau

88. Terdapat kesamaan yang cukup umum di antara tempat-tempat munculnya kebudayaan awal manusia terkait letaknya, yaitu …

a. terletak di tepi laut yang hangat

b. terletak di dataran tinggi yang cukup sejuk

c. terletak di dataran rendah yang luas

d. terletak di lembah sungai besar

e. terletak di gurun pasir

89. Situs arkeologi Göbekli Tepe yang termasyhur di Turki merupakan situs yang sangat penting dalam menyingkap sejarah kebudayaan manusia. Situs ini dipercaya merupakan ...

a. tempat manusia mulai menetap pertama kali di Dunia

b. kota pertama di Dunia

c. kuil penyembahan pertama di Dunia

d. tempat manusia pertama kali muncul di Dunia

e. bukit tempat kandasnya kapal Nabi Nuh

90. Kebudayaan Keltik dipercaya merupakan induk dari banyak kebudayaan di Eropa, namun demikian Kebudayaan Keltik lambat laun tergeser oleh kebudayaan-kebudayaan yang lebih baru. Proses pergeseran budaya tersebut sering dikenal dengan sebutan ...

a. substitusi b. sinkretisme c. dekulturasi d. adisi e. originasi

91. Terracotta adalah situs peninggalan sejarah ternama yang berasal dari kebudayaan ...

a. Andes

b. Mesir

c. Lembah Sungai Huang Ho

d. Romawi

e. Inca

92. Peleburan kebudayaan di wilayah Kanada tanpa menghilangkan unsur unsur budaya yang dibawa pada awalnya lazim disebut dengan ...

a. akulturasi

b. asimilasi

c. mozaik budaya

d. mangkuk salad

e. kuali peleburan

93. Setelah kedatangan masyarakat Eropa, perubahan berikut manakah yang terjadi pada penduduk asli (indigenous people) Amerika?

a. Bertambah drastis karena rute perdagangan dan industri baru.

b. Berkurang perlahan karena mulai mengenal jenis komoditas pertanian baru.

c. Tetap sama, karena sesungguhnya hanya beberapa warga Eropa yang pindah kesana.

d. Berkurang drastis karena terjadinya penyakit-penyakit baru.

e. Berkurang perlahan-lahan karena peningkatan kompetisi lahan.

94. Istilah difusi kebudayaan (cultural diffusion) merujuk pada …

a. modifikasi permukaan bumi akibat aktivitas manusia.

b. integrasi kebiasaan-kebiasaan suku suku dalam sebuah kelompok masyarakat.

c. persebaran ide atau inovasi dari tempat asalnya.

d. asimilasi kultur minoritas pada wilayah baru.

e. hubungan antara kebudayaan manusia dengan alam.

95. Wilayah dibawah ini yang mengalami linguistic fragmentation paling besar adalah ...

a. Korea

b. Skandinavia

c. Kaukasus

d. Argentina

e. Quebec

96. Sistem Informasi Geografis (SIG) sangat bermanfaat dalam sistem informasi perencanaan, karena memberikan informasi yang dapat digunakan untuk pembuatan keputusan seperti …

a. memberikan data koordinat saja.

b. membuat analysis networking, membuat buffering, menentukan koridor daerah resapan, dll.

c. memberikan informasi spasial dan atribut tentang suatu objek di bumi.

d. Jawaban a dan b benar

e. Jawaban b dan c benar

97. Sistem proyeksi yang ditunjukkan oleh gambar di atas adalah sistem proyeksi …

a. Azimutal

b. Mercator

c. Transverse Mercator

d. Zenital

e. Konikal

98. OSN 2019 akan diselenggarakan di kota Manado, Sulawesi Utara. Kota di Asia Tenggara yang terletak satu lintang dengan Manado adalah …

a. Pontianak

b. Kualalumpur

c. Bandar Seri Begawan

d. Gorontalo

e. Kuching

99. Citra satelit di samping diambil di sebuah kawasan di Timur Tengah yang menampilkan …

a. instalasi stasiun radar militer rahasia

b. landasan peluncuran roket militer

c. penanda aktivitas UFO di bumi

d. aktivitas pertambangan dengan metode open pit

e. aktivitas pertanian

100. Suatu kawasan industri disajikan dalam bentuk raster dari citra satelit QuickBird yang memiliki resolusi spasial 0,5 x 0,5 meter per piksel. Kawasan tersebut memiliki luas sebanyak 24.000.000 piksel. Maka luasan kawasan industri tersebut di lapangan adalah ...

a. 9.600.000 meter persegi

b. 960 hektar

c. 600 hektar

d. 2.400.000 meter persegi

e. 600.000 meter persegi

Definisi Pewarnaan Graf (Coloring Graph)

Masalah pewarnaan graf adalah memberikan warna pada elemen-elemen tertentu dari graf yang tunduk pada batasan-batasan tertentu. Pewarnaan titik adalah masalah pewarnaan graf yang paling umum. Soalnya, diberikan m warna, temukan cara mewarnai simpul dari suatu graf sedemikian rupa sehingga tidak ada dua simpul bertetangga yang diwarnai menggunakan warna yang sama.

Bilangan Kromatik

Bilangan Kromatik adalah banyaknya warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai simpul-simpul suatu graf G sedemikian rupa sehingga tidak ada dua simpul bertetangga yang memiliki warna yang sama dilambangkan dengan x(G).

Teorema Bilangan Kromatik pada Subgraf bagian : Jika H adalah subgraf dari G,χ(H)≤χ(G).

Bukti: Setiap pewarnaan G memberikan pewarnaan yang tepat untuk H, hanya dengan memberikan warna yang sama pada simpul-simpul H yang mereka miliki di G. Ini berarti bahwa H dapat diwarnai dengan warna (G), bahkan mungkin lebih sedikit.

Teorema Pewarnaan Graf Komplit (Complete Graph): Jika G adalah graf lengkap dengan n titik (Kn) maka χ(n)=n.

Bukti: Karena G merupakan graf lengkap maka tiap titiknya berderajat n-1. Pilih sembarang titik v untuk diwarnai maka untuk mewarnai titik lain yang bertetangga memerlukan n-1 warna. Sehingga banyak warna n-1+1=n warna.

Teorema Graf Nol (Null Graph) : Jika G adalah graf nol maka χ(G)=1.

Bukti: Karena G graf nol maka tidak akan ada titik yang bertetangga sehingga hanya butuh satu warna untuk semua titik di G.

Teorema Graf Bipartisi : G graf bipartisi jika dan hanya jika χ(G).

Bukti: Himpunan titik V(G) dibagi menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2. Pilih salah satu himpunan bagian V1, karena setiap titik pada himpunan bagian V1 tersebut tidak bertetangga maka hanya perlu menggunakan 1 warna begitu juga dengan V2. Kemudian tiap titik di V1 bertetangga di V2 sehingga V1 dan V2 memiliki warna yang berbeda sehingga χ(G)=2.

Teorema Graf Sikel: Jika G graf sikel Cn maka χ(G)=2 untuk n genap dan 3 untuk n ganjil.

Bukti: Untuk sikel genap, titik titik pada G dapat diwarnai selang seling sehingga hanya dibutuhkan 2 warna. Selanjutnya untuk sikel ganjil n, n-1 genap sehingga dapat selang seling, tetapi ada titik ke n yang terhubung dengan titik 1 dan n-1 yang memiliki 2 warna berbeda sehingga pada titik n memerlukan warna ke 3.

Teorema Derajat Terbesar: Misalakn G graf sederhana dengan derajat terbesar Δ(G), maka χ(G)≤ Δ(G)+1.

Teorema Graf Planar : Pada Graf Planar G dapat diwarnai oleh 4 warna.

Algoritma Welsh Powell

Dalam teori graf, pewarnaan simpul adalah cara memberi label pada setiap simpul individu sedemikian rupa sehingga tidak ada dua simpul bertetangga yang memiliki warna yang sama. Tapi kita perlu mencari tahu jumlah warna yang kita butuhkan untuk memenuhi kondisi yang diberikan. Tidak diinginkan untuk memiliki banyak variasi warna atau label. Jadi, Kami memiliki algoritma yang disebut algoritma welsh Powell yang memberikan warna minimum yang kami butuhkan. Algoritma ini juga digunakan untuk mencari bilangan kromatik suatu graf. Ini adalah pendekatan serakah berulang.

Algoritma Welsh Powell terdiri dari Langkah-langkah berikut:

Tentukan derajat setiap simpul
Daftar simpul dalam urutan derajat menurun.
Warnai simpul pertama dengan derajat terbesar dengan warna 1.
Pindah ke bawah daftar dan warnai semua simpul yang tidak terhubung ke simpul berwarna, dengan warna yang sama.

Ulangi langkah 4 pada semua simpul yang tidak diwarnai dengan warna baru, dalam urutan derajat yang menurun hingga semua simpul diwarnai.

Dengan memulai dengan derajat terbesar, kami memastikan bahwa simpul dengan jumlah konflik tertinggi dapat ditangani sedini mungkin.

Definisi Graf Eulerian

Lintasan Euler atau Eulerian path melalui graf adalah lintasan yang daftar sisinya memuat setiap sisi graf tepat satu kali.

Lintasan Euler yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit Euler. Graf Euler adalah graf yang memiliki sirkuit Euler.

Teorema Graf Euler

Kasus Umum: Graf tak berarah memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika terhubung dan memiliki nol atau dua simpul yang berderajat ganjil. Jika tidak ada simpul yang berderajat ganjil, maka grafnya adalah Euler.

Berdasarkan teorema diatas akan didapatkan teorema dibawah:

Jika suatu graf terhubung dan setiap simpul berderajat genap, maka ia memiliki setidaknya satu sirkuit Euler.

Jika suatu graf terhubung dan memiliki tepat dua simpul berderajat ganjil, maka graf tersebut memiliki paling sedikit satu lintasan Euler (biasanya lebih). Setiap jalur tersebut harus dimulai pada salah satu simpul derajat ganjil dan berakhir di simpul lainnya.

Jumlah derajat semua simpul dari suatu graf sama dengan dua kali jumlah sisi (dan karenanya harus bilangan genap).

Cara Mencari Lintasan Sirkuit Euler / Eulerian

Pastikan bahwa setiap simpul dalam jaringan memiliki derajat genap.
Mulailah rangkaian Euler di sembarang simpul dalam jaringan.
Saat Anda memilih tepi, jangan pernah menggunakan tepi yang merupakan satu-satunya koneksi ke bagian jaringan yang belum Anda kunjungi.
Beri label tepi dalam urutan yang Anda tempuh dan lanjutkan ini sampai Anda telah melakukan perjalanan di sepanjang setiap tepi tepat satu kali dan Anda berakhir di simpul awal.

Definisi Graf Hamiltonian

Lintasan Hamilton atau Hamiltonian melalui suatu graf adalah lintasan yang daftar simpulnya berisi setiap simpul dari graf tepat satu kali, kecuali jika lintasannya adalah sirkuit, dalam hal ini simpul awal muncul untuk kedua kalinya sebagai simpul terminal/akhir. Jika lintasannya berupa sirkuit, maka disebut sirkuit Hamilton. Graf Hamilton adalah graf yang memiliki sirkuit Hamilton.

Teorema Hamilton

Grafik lengkap pasti memiliki sirkuit Hamilton.

Graf lengkap dengan N simpul adalah (N-1)! sirkuit Hamilton. Karena setengah dari sirkuit adalah bayangan cermin dari setengah lainnya, sebenarnya hanya ada setengah dari banyak sirkuit unik ini.

Cara mengatasi Travelling Salesman Problem (TSP)

Masalah penjual keliling adalah masalah di mana Anda membayangkan bahwa penjual keliling melakukan perjalanan bisnis. Dia mulai di kota asalnya (A) dan kemudian perlu melakukan perjalanan ke beberapa kota yang berbeda untuk menjual barang dagangannya (kota lainnya adalah B, C, D, dll.). Untuk menyelesaikan TSP, Anda perlu menemukan cara termurah bagi penjual keliling untuk memulai di rumah, A, bepergian ke kota lain, dan kemudian pulang ke A di akhir perjalanan. Ini hanya menemukan sirkuit Hamilton dalam grafik lengkap yang memiliki bobot keseluruhan terkecil. Ada beberapa algoritma yang berbeda yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah jenis ini.

Algoritma Brute Force

Daftar semua kemungkinan sirkuit Hamilton dari grafik.
Untuk setiap sirkuit, temukan bobot totalnya.
Sirkuit dengan bobot total paling kecil adalah sirkuit Hamilton yang optimal.

Algoritma Tetangga Terdekat (Nearest-Neighbor Algorithm)

Pilih simpul sebagai titik awal.
Dari titik awal pergi ke simpul dengan tepi dengan bobot terkecil. Jika ada lebih dari satu pilihan, pilih secara acak.
Lanjutkan membangun sirkuit, satu per satu simpul dari antara simpul yang belum dikunjungi.
Dari simpul terakhir, kembali ke titik awal.

Algoritma Tetangga Terdekat Berulang (Repetitive Nearest-Neighbor Algorithm)

Biarkan X menjadi sembarang simpul. Terapkan Algoritma Tetangga Terdekat dengan menggunakan X sebagai titik awal dan hitung total biaya rangkaian yang diperoleh.
Ulangi proses tersebut dengan menggunakan setiap simpul lain dari graf sebagai simpul awal.
Dari sirkuit Hamilton yang didapat, pertahankan yang terbaik. Jika ada titik awal yang ditunjuk, tulis ulang rangkaian ini dengan titik tersebut sebagai titik referensi.

Algoritma Tautan Termurah (Cheapest-Link Algorithm)

Pilih link dengan bobot terkecil terlebih dahulu (jika ada seri, pilih salah satu secara acak). Tandai tepi yang sesuai dengan warna merah.
Pilih tautan termurah berikutnya dan tandai tepi yang sesuai dengan warna merah.
Lanjutkan memilih tautan termurah yang tersedia. Tandai tepi yang sesuai dengan warna merah kecuali jika a) menutup sirkuit atau b) menghasilkan tiga tepi yang keluar dari satu simpul.
Ketika tidak ada lagi simpul untuk dihubungkan, tutup sirkuit merah.

Definisi Pohon (Tree) dapa Teori Graph

Graf terhubung tak berarah G disebut pohon jika penghapusan salah satu sisinya membuat G terputus. Sekumpulan pohon Tree disebut hutan (forest).

Dalam teori graf, tree adalah graf tak berarah, terhubung, dan asiklik. Dengan kata lain, graf terhubung yang tidak memuat satu siklus pun disebut pohon.

Sebuah pohon mewakili struktur hierarkis dalam bentuk grafik. Elemen-elemen pohon disebut simpulnya dan tepi pohon disebut cabang. Sebuah pohon dengan n simpul memiliki (n-1) sisi.

Daun pada pohon adalah simpul berderajat 1 atau setiap simpul yang tidak memiliki cabang ke bawah disebut daun.

Sifat-sifat Tree Pohon

Setiap pohon pada dua atau lebih simpul memiliki setidaknya satu simpul daun.

Simpul yang berada di bagian atas pohon dikenal sebagai akar pohon.

Item data yang tersisa dibagi menjadi himpunan bagian yang terpisah-pisah yang disebut sebagai subpohon.

Pohon itu diperluas dari atas ke arah bawah.

Graf T adalah pohon jika dan hanya jika antara setiap pasangan simpul berbeda dari T terdapat lintasan yang unik.

Sebuah pohon dengan n simpul memiliki tepat n−1 cabang atau sisi.

Sebuah pohon dengan simpul berderajat k≥1 memiliki setidaknya k simpul daun. Secara khusus, setiap pohon dengan setidaknya dua simpul memiliki setidaknya dua simpul daun.

Sebuah titik potong pada graf terhubung G adalah sebuah titik yang penghilangannya memutuskan graf tersebut. Setiap graf terhubung memiliki simpul daun yang bukan merupakan titik potong.

Elemen elemen pada Tree

Edge – Garis yang menghubungkan dua node.

Level – Sebuah pohon dipartisi menjadi beberapa level sedemikian rupa sehingga simpul akar berada pada level 0. Kemudian, anak-anak terdekatnya berada di level 1, dan anak-anak terdekatnya berada pada level 2 dan seterusnya hingga terminal atau simpul daun.

Derajat – Ini adalah jumlah subpohon dari sebuah simpul di pohon tertentu.

Depth – Ini adalah tingkat maksimum dari setiap simpul di pohon tertentu dan juga dikenal sebagai ketinggian.

Node terminal – Node level tertinggi adalah node terminal sementara node lain kecuali terminal dan node root dikenal sebagai node non-terminal.

Perbedaan Tree dan Graf

Pada tree pohon hanya ada satu jalur antara dua simpul sedangkan grafik dapat memiliki jalur searah dan dua arah antara node.

Pada pohon, ada tepat satu simpul akar, dan setiap anak hanya dapat memiliki satu orang tua. Sebaliknya, dalam grafik, tidak ada konsep simpul akar.

Sebuah pohon tidak dapat memiliki loop dan self-loop sedangkan graph dapat memiliki loop dan self-loop.

Grafik lebih rumit karena dapat memiliki loop dan self-loop. Sebaliknya, pohon sederhana dibandingkan dengan grafik.

Sebuah pohon dapat memiliki n-1 sisi. Sebaliknya, dalam grafik, tidak ada jumlah tepi yang ditentukan sebelumnya, dan itu tergantung pada grafik.

Pohon memiliki struktur hierarkis sedangkan grafik memiliki model jaringan.

Pohon Merentang (Spanning Tree)

Jika G adalah graf terhubung pada n simpul, pohon merentang pada G adalah subgraf dari G yang merupakan pohon pada n simpul. Setiap graf terhubung memiliki spanning tree.

Metode Spanning Tree

Kita dapat menemukan pohon merentang secara sistematis dengan menggunakan salah satu dari dua metode:

1. Metode pemotongan

Mulailah memilih graf melingkar apa pun di Grafik G.

Hapus salah satu tepi graf melingkar.

Ulangi proses ini sampai tidak ada lingkaran yang tersisa.

2. Metode membangun

Pilih tepi graf G satu per satu. Sedemikian rupa sehingga tidak ada siklus yang dibuat.

Ulangi proses ini sampai semua simpul dimasukkan.

Definisi Graf Isomorfik

Isomorfisme graf adalah fenomena keberadaan graf yang sama dalam lebih dari satu bentuk yang disebut graf isomorfik.

Graf G dan H bersifat isomorfik jika terdapat struktur yang mempertahankan korespondensi satu-satu antara simpul dan sisi. Dengan kata lain, kedua graf tersebut hanya berbeda nama sisi dan simpulnya saja, tetapi secara struktural ekuivalen

Syarat dan Kondisi Dua Graf Isomorfik

Untuk setiap dua grafik menjadi isomorfik, 4 kondisi berikut harus dipenuhi,yaitu:

Jumlah simpul pada kedua graf harus sama.
Jumlah rusuk pada kedua graf harus sama.
Urutan derajat kedua grafik harus sama.
Jika sebuah siklus dengan panjang k dibentuk oleh simpul { v1 , v2 , ….. , vk } dalam satu graf, maka sebuah siklus dengan panjang k yang sama harus dibentuk oleh simpul { f(v1) , f(v2) , ….. , f(vk) } di grafik lain juga.

4 kondisi di atas hanyalah kondisi yang diperlukan untuk setiap dua grafik menjadi isomorfik. Mereka sama sekali tidak cukup untuk membuktikan tetapi hanya menunjukan bahwa kedua grafik tersebut mungkin isomorfik. Jika keempat syarat tersebut memenuhi, maka tidak dapat dikatakan bahwa graf tersebut pasti isomorfik. Namun, jika ada syarat yang dilanggar, maka dapat dikatakan bahwa graf tersebut pasti tidak isomorfik.

Kondisi berikut adalah kondisi yang cukup untuk membuktikan dua graf isomorfik. Jika salah satu dari kondisi ini memenuhi, maka dapat dikatakan bahwa grafik tersebut pasti isomorfik.

Dua graf dikatakan isomorfik jika dan hanya jika graf komplemennya isomorfik.
Dua graf dikatakan isomorfik jika matriks ketetanggaannya sama.
Dua graf dikatakan isomorfik jika sub-graf yang bersesuaian diperoleh dengan menghapus beberapa simpul dari satu graf dan gambar yang bersesuaian pada graf lainnya adalah isomorfik.

Definisi Graf Planar dan Graf Bidang (Planar Graf)

Suatu graf dikatakan planar jika graf tersebut dapat digambarkan pada suatu bidang tanpa ada sisi yang bersilangan. Gambar seperti itu disebut representasi planar graf.

Ketiga gambar diatas adalah graf K4 dan isomorfiknya merupakan contoh graf planar. Jika diperhatikan graf dikatakan planar jika salah satu isomorfiknya merupakan graf planar. Graf isomorfik yang digambarkan dengan sisi tidak menyilang satu sama lain disebut graf bidang (plane graph). Contoh Graf bidang adalah gambar ke 2 dan 3 dari K4.

Wilayah (Region) pada Graf Planar

Ketika graf planar digambar tanpa sisi-sisi yang bersilangan, sisi-sisi dan simpul-simpul dari graf tersebut membagi bidang menjadi daerah-daerah. Kami akan menyebut setiap wilayah sebagai wajah termasuk diluar graf. Graf K4 terdapat 4 wilayah. Wilayah pada planar disibolkan dengan f

Jumlah wajah tidak berubah bagaimanapun Anda menggambar grafik (selama Anda melakukannya tanpa tepi bersilangan), jadi masuk akal untuk menganggap jumlah wajah sebagai properti grafik planar.

Ada hubungan antara jumlah simpul (v), jumlah sisi (e) dan jumlah daerah (f) pada graf planar yang terhubung.

Untuk setiap graf planar terhubung dengan v simpul, tepi e dan wajah f, kita memiliki v−e+f=2 atau f=2-v+e.

Selain itu terdapat teorema lain yaitu:

Jika G adalah graf planar terhubung dengan e sisi dan v simpul, di mana v≥3, maka e≤3v-6. Juga G tidak dapat memiliki titik yang berderajat lebih dari 5.

Jenis Jenis Graf pada Teori Graph

Ada banyak jenis graf yang berbeda tergantung pada jumlah simpul, jumlah sisi, interkonektivitas, dan struktur keseluruhannya, beberapa jenis graf yang umum adalah sebagai berikut:

Graf Sederhana (Simple Graph)

Graf sederhana adalah graf yang tidak memiliki lebih dari satu sisi di antara dua simpul dan tidak ada sisi yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama. Dengan kata lain graf sederhana adalah graf tanpa loop dan sisi ganda.

Graf Multi (Multi Graph)

Graf yang memiliki banyak sisi di antara setiap pasangan simpulnya atau terdapat sisi dari suatu simpul ke dirinya sendiri (loop) disebut graf multi.

Graf Berbobot (Weighted Graph)

Graf berbobot adalah graf yang sisi-sisinya diberi label dengan beberapa bobot atau angka.

Panjang suatu lintasan pada graf berbobot adalah jumlah bobot semua sisi pada lintasan tersebut.

Graf Berarah (Directed Graph) dan Tidak Berarah (Undirected Graph)

Graf berarah adalah graf yang memiliki sisi dengan arah. Sisi menunjukkan hubungan satu arah, di mana setiap sisi hanya dapat dilalui dalam satu arah.

Sedangkan, Graf tak berarah adalah graf yang memiliki sisi yang tidak memiliki arah. Tepi menunjukkan hubungan dua arah, di mana setiap tepi dapat dilalui di kedua arah.

Graf Terhubung (Connected Graph) dan Graf Tak terhubung (Disconnected Graph)

Graf terhubung adalah graf yang memiliki lintasan atau jalur dari titik mana pun ke titik lain dalam grafik.

Graf tak terhubung adalah graf yang titik-titik terpisah menjadi dua atau lebih grup yang berbeda, di mana tidak mungkin menghubungkan simpul dalam satu grup ke simpul di grup lain dengan melakukan perjalanan sepanjang serangkaian tepi.

Graf Nol (Null Graph)

Graf nol didefinisikan sebagai graf yang hanya terdiri dari simpul-simpul yang terisolasi. Ini berarti graf nol tidak memiliki sisi yang yang menghubungkan titik simpul pada graf. Graf nol dengan n simpul dinotasikan dengan Nn.

Graf Trivial

Graf trivial adalah graf yang hanya memiliki satu simpul.

Graf Reguler (Regular Graph)

Graf Reguler adalah graf yang derajat semua simpulnya sama. Jika derajat semua simpul adalah k, maka disebut graf beraturan k.

Graph Komplit (Complete Graph)

Graf yang setiap pasang simpulnya dihubungkan oleh tepat satu sisi disebut graf lengkap. Ini berisi semua kemungkinan tepi. Graf lengkap dengan n simpul mengandung tepat nC2 sisi dan diwakili oleh Kn.

Graph Sikel (Cycle Graph)

Graf dengan 'n' simpul (di mana, n>=3) dan 'n' tepi membentuk lingkaran 'n' dengan semua sisinya dikenal sebagai graf sikel. Graf yang mengandung setidaknya satu siklus di dalamnya dikenal sebagai graf siklik. Pada graf sikel, derajat setiap simpul adalah 2. Graf siklus yang memiliki n simpul dilambangkan dengan Cn.

Graph Lintasan (Path Graph)

Graf lintasan adalah sebuah pohon dengan dua simpul yang berderajat 1 dan satu simpul lainnya. simpul derajat 2. Oleh karena itu, graf jalur adalah graf yang dapat ditarik sehingga semua simpul dan tepinya terletak pada satu garis lurus.

Graph Roda (Wheel Graph)

Graf roda diperoleh dengan menghubungkan sebuah simpul ke semua simpul dari graf siklus. Dilambangkan dengan Wn, untuk n > 3 dimana n adalah jumlah simpul pada graf. Graf roda dengan n simpul berisi graf siklus dengan orde n – 1 dan semua simpul dari siklus terhubung ke satu simpul . Banyaknya rusuk pada graf Roda, Wn adalah 2n – 2.

Graf Bintang (Star Graf)

Graf bintang adalah jenis graf khusus di mana n-1 simpul memiliki derajat 1 dan satu simpul memiliki derajat n – 1. Ini terlihat seperti n – 1 simpul terhubung ke satu simpul pusat. Graf bintang dengan total n simpul disebut sebagai Sn.

Graph Platonik (Platonic Graph)

Graf platonik muncul dari lima benda padat: tetrahedron, oktahedron, kubus, dodecahedron, dan ikosahedron, di mana titik-titik graf sama dengan titik-titik padatan, dan sisi-sisi graf sama dengan sisi-sisi padatan . Tentu saja, graf-graf ini dapat diubah dalam berbagai cara selama setiap simpul terhubung dengan tepat.

Graph Bipartisi (Bipartite Graph)

Graf bipartisi adalah graf yang himpunan simpulnya dapat dipartisi menjadi dua himpunan sehingga sisi-sisinya hanya berada di antara himpunan, bukan di dalamnya.

Suatu graf G(V,E) disebut graf bipartisi jika himpunan titiknya V(G) dapat diuraikan menjadi dua himpunan bagian tak-kosong yang saling lepas V1(G) dan V2(G) sedemikian rupa sehingga setiap sisi e∈E(G) memiliki satu sambungan terakhir di V1(G) dan titik terakhir lainnya di V2(G).

Partisi V = V1∪V2 disebut bipartisi dari G.

Graph Bipartisi Komplit (Complete Bipartite Graph)

Graf bipartisi lengkap adalah graf bipartisi yang setiap simpul pada himpunan pertama dihubungkan dengan setiap simpul pada himpunan kedua dengan tepat satu sisi. Misal banyak titik pada kedua himpunan bagian pasrtisi adalah r dan s maka banyak titik adalah r+s dan banyak sisi adalah rs.

Merepresentasi Graf kedalam Matriks

Dalam teori graf, representasi graf adalah teknik untuk menyimpan graf ke dalam memori komputer.

Untuk merepresentasikan sebuah graf, kita hanya memerlukan himpunan simpul, dan untuk setiap simpul tetangga dari simpul tersebut (simpul yang terhubung langsung dengannya oleh sebuah sisi). Jika graf merupakan graf berbobot, maka bobot tersebut akan diasosiasikan dengan setiap sisinya.

Ada berbagai cara untuk merepresentasikan grafik secara optimal, tergantung pada kerapatan sisinya, jenis operasi yang akan dilakukan, dan kemudahan penggunaan.

Matriks Adjacency atau Keterhubungan

Matriks Adjacency adalah representasi sekuensial. Digunakan untuk merepresentasikan node mana yang terhubung satu sama lain. Yaitu apakah ada sisu yang menghubungkan titik-titk dalam graf.

Dalam representasi Matriks Adjacency ini, kita harus membangun matriks n×n A. Jika ada sisi dari titik i ke titik j, maka elemen yang sesuai dari A, aij = 1 (bisa lebih dari 1 jika sisi ganda) dan jika tidak aij= 0.

Jika ada graf berbobot maka alih-alih 1 dan 0, kita dapat menyimpan bobot sisinya.

Kelebihan: Representasi lebih mudah diterapkan dan diikuti.

Kekurangan: Dibutuhkan banyak ruang dan waktu untuk mengunjungi semua tetangga dari sebuah simpul, kita harus melintasi semua simpul dalam grafik, yang memakan waktu cukup lama.

Contoh Matriks Adjacency

Matriks Adjacency Graf Tidak Berarah

Matriks Adjacency Graf Berarah

Matriks Adjacency Graf Berbobot

Matriks Incidence atau kebersisian

Dalam representasi matriks Insiden, grafik dapat direpresentasikan menggunakan matriks ukuran: jumlah total simpul × jumlah total tepi.

Artinya, jika suatu graf memiliki 4 simpul dan 6 rusuk, maka graf tersebut dapat direpresentasikan menggunakan matriks kelas 4×6. Dalam matriks ini, kolom mewakili tepi dan baris mewakili simpul.

Matriks ini diisi dengan 0 atau 1 atau -1 (untuk graf berarah). Di mana,

0 digunakan untuk mewakili tepi baris yang tidak terhubung ke simpul kolom.
1 digunakan untuk mewakili tepi baris yang terhubung sebagai tepi keluar ke simpul kolom.
-1 digunakan untuk mewakili tepi baris yang terhubung sebagai tepi masuk ke simpul kolom.

Contoh Matriks Incidence

Graf, Subgraf dan Komplemen Graf

Teori graf merupakan cabang matematika yang mempelajari jaringan titik-titik yang dihubungkan oleh garis. Subjek teori graph berawal dari masalah matematika rekreasi, tetapi telah berkembang menjadi area penelitian matematika yang signifikan, dengan aplikasi dalam kimia, riset operasi, ilmu sosial, dan ilmu komputer.

Sejarah teori graf dapat ditelusuri secara khusus ke tahun 1735, ketika matematikawan Swiss Leonhard Euler memecahkan masalah jembatan Königsberg. Masalah jembatan Königsberg adalah teka-teki lama tentang kemungkinan menemukan jalur di atas setiap satu dari tujuh jembatan yang membentang di sungai bercabang yang mengalir melewati sebuah pulau, tetapi tanpa melintasi jembatan apa pun dua kali. Euler berpendapat bahwa tidak ada jalan seperti itu. Pembuktiannya hanya melibatkan referensi ke susunan fisik jembatan, tetapi pada dasarnya dia membuktikan teorema pertama dalam teori graph.

Definisi Graf

Graf G merupakan pasangan dua himpunan yaitu V(G) himpunan tak kosong yang anggotanya disebut titik dan E(G) himpunan yang anggotanya disebut sisi.

Dari definisi diatas dapat disimpulkan bahwa graf adalah kumpulan titik-titik yang dihubungkan oleh garis dari titik satu ke titik lainnya.

Unsur dan Elemen Graf

Berdasarkan definisi graf, graf memiliki dua elemen yaitu titik dan sisi.

Titik dapat disebut juga vertex, simpul, point, atau node. Titik dalam graf yang dapat mewakili persimpangan jalan, daratan, atau lokasi umum, seperti "kantor" atau "sekolah". Titik sering dihubungkan oleh sisi.

Sisi dapat disebut juga edge, rusuk, ruas atau line. Sisi merupakan garis yang menghubungkan pasangan titik. Sisi dapat mewakili hubungan fisik antara lokasi, seperti jalan, atau hanya bahwa ada rute yang menghubungkan dua lokasi, seperti penerbangan maskapai.

Loop adalah jenis sisi atau garis khusus yang menghubungkan titik ke dirinya sendiri. Loop tidak banyak digunakan dalam grafik jaringan jalan.

Sisi ganda, merupakan dua atau lebih garis yang memiliki 2 ujung titik yang sama. Dalam graf tak berarah, dua atau lebih sisi yang bersinggungan dengan dua simpul yang sama, atau dalam graf berarah, dua atau lebih sisi dengan kedua simpul ekor yang sama dan simpul kepala yang sama.

Adjacent (terhubung/bertetangga), dua titik dikatakan bertetangga, jika terdapat sisi atau garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Di sini, kedekatan simpul dipertahankan oleh sisi tunggal yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Dalam suatu graf, dua sisi dikatakan bertetangga, jika terdapat sebuah titik persekutuan di antara kedua sisi tersebut. Titik dengan loop "melihat" dirinya sebagai titik yang berdekatan dari kedua ujung sisi sehingga menambahkan dua, bukan satu ke derajat.

Incident (bersisian), sebuah titik bersisian dengan suatu sisi jika titik tersebut adalah salah satu dari dua titik yang dihubungkan oleh sisi tersebut. Insidence adalah pasanga simpul dan merupakan titik tepi.

Isolated vertex (Titik terisolasi) adalah titik yang tidak memiliki sisi atau garis yang menghubungkan titik tersebut dengan titik lainnya.

Lintasan atau Path merupakan rute di sepanjang tepi graf. Sebuah jalur dapat mengikuti satu sisi secara langsung di antara dua titik, atau mungkin mengikuti beberapa sisi melalui beberapa titik.

Orde atau order suatu graph adalah jumlah simpul atau titik dalam graf tersebut (Orde=n[V(G)]).

Ukuran atau size suatu graph adalah jumlah sisi dalam graf tersebut (Size=n[E(G)]).

Definisi Subgraf

Misalkan G=(V,E) dan H=(W,F) graf. H dikatakan subgraph dari G jika W⊆V dan F⊆E.

Subgraf adalah Graf yang titik dan sisinya merupakan himpunan bagian dari graf lain. Subgraph bisa didapatkan dengan menghapus sisi atau titik pada suatu graf.

Sebuah subgraf dapat dibentuk dengan menghapus sisi atau sebuah sub himpunan dari E(G). Subgraf juga didapat dengan menghapus titik atau sub himpunan dari V(G) dengan menghapus juga sisi yang bersisian (incident) dengan titik yang dihapus.

Komplemen Graf

Komplemen atau invers dari graf G adalah graf H dimana graf H memiliki simpul-simpul yang sama dengan graf G sehingga dua simpul berbeda dari H bertetangga jika dan hanya jika keduanya tidak bertetangga di G.

Misalkan suatu graf lengkap memiliki titik anggota himpunan V sisi yang merupakan anggota himpunan E. Misalkan G adalah graf dengan titik himpunan V dan sisi yang anggota E1 dimana E1 adalah sub himpunan dari E. Misalkan juga graf H memiliki titik himpunan V dan sisi E2 merupakan subhimpunan E dimana E2=E-E1. Graf H disebut komplemen atau inverst graf G.

Komplemen subgraf dari graf G adalah graf yang diperoleh dari G dengan menghapus semua sisi yang ada pada subgraf.