Distribusi Binomial : Eksperimen Binomial, Peluang Binomial, dan Probabilitas Binomial Kumulatif

Distribusi Binomial : Eksperimen Binomial, Peluang Binomial, dan Probabilitas Binomial Kumulatif

Distribusi binomial adalah distribusi diskrit yang umum digunakan dalam statistik, bukan distribusi kontinu, seperti distribusi normal . Ini karena distribusi binomial hanya menghitung dua status, biasanya direpresentasikan sebagai 1 (untuk keberhasilan) atau 0 (untuk kegagalan) berdasarkan sejumlah uji coba dalam data. Distribusi binomial, oleh karena itu, mewakili probabilitas untuk x sukses dalam n percobaan, dengan p probabilitas sukses untuk setiap percobaan.

Distribusi binomial merangkum jumlah percobaan, atau pengamatan ketika setiap percobaan memiliki kemungkinan yang sama untuk mencapai satu nilai tertentu. Distribusi binomial menentukan probabilitas pengamatan sejumlah hasil tertentu yang berhasil dalam sejumlah percobaan tertentu.

Eksperimen Binomial

Sebuah percobaan binomial adalah uji statistik yang memiliki sifat sebagai berikut:

• Percobaan terdiri dari n percobaan berulang.
• Setiap percobaan hanya dapat menghasilkan dua kemungkinan hasil. Kami menyebut salah satu hasil ini sukses dan yang lainnya gagal.
• Probabilitas keberhasilan, dilambangkan dengan P , adalah sama di setiap percobaan.
• Uji coba bersifat independen ; Artinya, hasil pada satu percobaan tidak mempengaruhi hasil pada percobaan lainnya.

Pertimbangkan eksperimen statistik berikut. Anda melempar koin 2 kali dan menghitung berapa kali koin itu mendarat di kepala. Ini adalah percobaan binomial karena:

• Percobaan terdiri dari percobaan berulang. Kami melempar koin 2 kali.
• Setiap percobaan hanya dapat menghasilkan dua kemungkinan hasil - kepala atau ekor.
• Probabilitas keberhasilan konstan - 0,5 pada setiap percobaan.

    Uji coba bersifat independen; artinya, mendapatkan kepala pada satu percobaan tidak mempengaruhi apakah kita mendapatkan kepala pada percobaan lain.

Notasi

Notasi berikut berguna, ketika kita berbicara tentang probabilitas binomial.

•     x : Jumlah keberhasilan yang dihasilkan dari percobaan binomial.
•     n : Jumlah percobaan dalam percobaan binomial.
•     P : Kemungkinan sukses pada percobaan individu.
•     T : Probabilitas kegagalan pada uji coba individu. (Ini sama dengan 1 - P. )
•     n! : Faktorial n (juga dikenal sebagai n faktorial).
•     b ( x ; n, P ): probabilitas Binomial - probabilitas bahwa n -trial hasil percobaan binomial di persis x keberhasilan, ketika probabilitas keberhasilan pada percobaan individu P .
•     n C r : Banyaknya kombinasi dari n benda, diambil r sekaligus.

Distribusi Binomial

Distribusi binomial dihitung dengan mengalikan probabilitas keberhasilan pangkat dari jumlah keberhasilan dan probabilitas kegagalan pangkat dari perbedaan antara jumlah keberhasilan dan jumlah uji coba. Kemudian, kalikan hasil perkaliannya dengan kombinasi jumlah percobaan dan jumlah keberhasilan.

Misalkan kita melempar koin dua kali dan menghitung jumlah gambar (berhasil). Variabel acak binomial adalah jumlah kepala, yang dapat memiliki nilai 0, 1, atau 2. Distribusi binomial disajikan di bawah ini

Jumlah Gambar	Kemungkinan
0	0.25
1	0,50
2	0.25

 

Distribusi binomial memiliki properti berikut:

•     Mean dari distribusi (μ x ) sama dengan n × P .
•     Varians (σ 2 x ) adalah n × P × (1 - P ).
•     Standar deviasi (σ x ) adalah sqrt [ n × P × (1 - P )]

Rumus Binomial dan Probabilitas Binomial

The probabilitas binomial mengacu pada probabilitas bahwa hasil percobaan binomial di persis x keberhasilan. Misalnya, pada tabel di atas, kita melihat bahwa probabilitas binomial untuk mendapatkan tepat satu kepala dalam dua lemparan koin adalah 0,50.

Diberikan x , n , dan P , kita dapat menghitung probabilitas binomial berdasarkan rumus binomial:

Formula Binomial. Misalkan percobaan binomial terdiri dari n percobaan dan menghasilkan x sukses. Jika probabilitas keberhasilan pada percobaan individu adalah P , maka probabilitas binomialnya adalah:

b ( x ; n, P ) = nCx P^x × (1 - P)^{n - x}

atau

b ( x ; n, P ) = {n! / [x! (n - x)! ]} × P ^x × (1 - P)^{n – x}

Contoh

Misalkan dadu dilempar 5 kali. Berapa probabilitas untuk mendapatkan tepat 2 angka 4?

Solusi: Ini adalah percobaan binomial dimana jumlah percobaan sama dengan 5, jumlah keberhasilan sama dengan 2 percobaan, dan probabilitas keberhasilan pada satu percobaan adalah 1/6 atau sekitar 0,167. Oleh karena itu, probabilitas binomialnya adalah:

b (2; 5, 0,167) = 5 C 2×(0,167) ²×(0,833) ³

b (2; 5, 0,167) = 0,161

Probabilitas Binomial Kumulatif

Sebuah probabilitas binomial kumulatif mengacu probabilitas bahwa variabel acak binomial jatuh dalam kisaran tertentu (misalnya, lebih besar dari atau sama dengan batas bawah yang dinyatakan dan kurang dari atau sama dengan batas atas lain).

Misalnya, kita mungkin tertarik pada probabilitas binomial kumulatif untuk mendapatkan 45 gambar atau kurang dalam 100 lemparan koin (lihat Contoh 1 di bawah). Ini akan menjadi jumlah dari semua probabilitas binomial individual ini.

b (x ≤ 45; 100, 0,5) =b (x = 0; 100, 0,5) + b (x = 1; 100, 0,5) + ... + b (x = 44; 100, 0,5) + b ( x = 45; 100, 0,5)

Contoh 1

Berapa probabilitas untuk mendapatkan 3 gambar atau kurang dalam 5 lemparan koin?

b (x ≤ 45; 100, 0,5) = b (x = 0; 100, 0,5) + b (x = 1; 100, 0,5) +. . . + b (x = 3; 100, 0,5)

b (x ≤ 45; 100, 0,5) = 0,8125

Contoh 2

Probabilitas seorang siswa diterima di perguruan tinggi bergengsi adalah 0,3. Jika 5 siswa dari sekolah yang sama melamar, berapakah probabilitas paling banyak 2 diterima?

Solusi: Untuk mengatasi masalah ini, kami menghitung 3 probabilitas individu, menggunakan rumus binomial. Jumlah dari semua probabilitas ini adalah jawaban yang kita cari. Jadi,

b (x ≤ 2; 5, 0,3) = b (x = 0; 5, 0,3) + b (x = 1; 5, 0,3) + b (x = 2; 5, 0,3)

b (x ≤ 2; 5 , 0,3) = 0,1681 + 0,3601 + 0,3087

b (x ≤ 2; 5, 0,3) = 0,8369