Distribusi Hipergeometrik : Eksperimen Hipergeometrik, Peluang Hipergeometrik, dan Probabilitas Hipergeometrik Kumulatif

Distribusi hipergeometrik , dalam statistik , fungsi distribusi di mana pemilihan dibuat dari dua kelompok tanpa mengganti anggota kelompok. Distribusi hipergeometrik berbeda dari distribusi binomial karena tidak ada penggantinya. Ini sering digunakan ketika pengambilan sampel acak guna pengendalian kualitas statistik . Contoh sehari-hari yang sederhana adalah pemilihan anggota secara acak untuk sebuah tim dari populasi perempuan dan laki-laki.

Dalam simbol, misalkan ukuran populasi yang dipilih dari menjadi N , dengan k elemen populasi milik satu kelompok (untuk memudahkan, disebut keberhasilan) dan N - k milik kelompok lain (disebut kegagalan). Selanjutnya, biarkan jumlah sampel yang diambil dari populasi menjadi n , sehingga 0 ≤ n ≤ N . Kemudian probabilitas ( P ) bahwa bilangan ( X ) elemen yang diambil dari kelompok sukses sama dengan beberapa bilangan ( x ).

Eksperimen Hipergeometrik

Sebuah percobaan hipergeometrik adalah uji statistik yang memiliki sifat sebagai berikut:

•     Sebuah sampel dari ukuran n dipilih secara acak tanpa penggantian dari populasi dari N item.
•     Dalam populasi tersebut, k item dapat diklasifikasikan sebagai berhasil, dan N - k item dapat diklasifikasikan sebagai gagal.

Pertimbangkan eksperimen statistik berikut. Anda memiliki guci 10 kelereng - 5 merah dan 5 hijau. Secara acak memilih 2 kelereng tanpa melakukan penggantian dan menghitung jumlah kelereng merah yang sudah Anda pilih. Ini akan menjadi eksperimen hipergeometrik.

Perhatikan bahwa ini bukan eksperimen binomial . Eksperimen binomial mensyaratkan probabilitas keberhasilan konstan pada setiap percobaan. Dengan percobaan di atas, kemungkinan sukses berubah pada setiap percobaan. Pada awalnya, kemungkinan memilih kelereng merah adalah 5/10. Jika Anda memilih kelereng merah pada percobaan pertama, probabilitas pemilihan kelereng merah pada percobaan kedua adalah 4/9. Dan jika Anda memilih kelereng hijau pada percobaan pertama, probabilitas pemilihan kelereng merah pada percobaan kedua adalah 5/9.

Perhatikan lebih lanjut bahwa jika Anda memilih kelereng dengan penggantinya, kemungkinan keberhasilan tidak akan berubah. Ini akan menjadi 5/10 pada setiap percobaan. Kemudian, ini akan menjadi eksperimen binomial.

Distribusi Peubah Acak Hipergeometri

Sebuah Peubah acak hipergeometrik adalah jumlah keberhasilan yang dihasilkan dari eksperimen hipergeometrik. The distribusi probabilitas dari variabel random hipergeometrik disebut distribusi hipergeometrik .

Diketahui x , N , n , dan k , kita dapat menghitung probabilitas hipergeometrik berdasarkan rumus berikut:

Notasi

Notasi berikut berguna, ketika kita berbicara tentang distribusi hipergeometrik dan probabilitas hipergeometrik.

•     N : Jumlah item dalam populasi .
•     k : Jumlah item dalam populasi yang diklasifikasikan sebagai keberhasilan.
•     n : Jumlah item dalam sampel .
•     x : Jumlah item dalam sampel yang dianggap sebagai keberhasilan.
•     h ( x ; N , n , k ): probabilitas hipergeometrik - probabilitas bahwa eksperimen hipergeometrik percobaan n menghasilkan tepat x keberhasilan, ketika populasi terdiri dari N item, k di antaranya diklasifikasikan sebagai keberhasilan.

Rumus

Rumus Hipergeometri. . Misalkan suatu populasi terdiri dari N item, k di antaranya adalah sukses. Dan sampel acak yang diambil dari populasi tersebut terdiri dari n item, x di antaranya berhasil. Maka probabilitas hipergeometriknya adalah:

h(x; N, n, k) = [ _kC_x ] [ _N-kC_n-x ] / [ _NC_n ]

Distribusi hipergeometrik memiliki properti berikut:

•     Mean dari distribusi adalah sama dengan n * k / N .
•     varians adalah n × k × ( N - k ) × ( N - n ) / [ N ² × ( N - 1)]

Contoh

Misalkan kita secara acak memilih 5 kartu tanpa penggantian dari setumpuk kartu remi biasa. Berapa probabilitas untuk mendapatkan tepat 2 kartu merah (yaitu, hati atau berlian)?

Solusi: Ini adalah eksperimen hipergeometrik di mana kami mengetahui hal-hal berikut:

    N = 52; karena ada 52 kartu dalam satu tumpukan.

    k = 26; karena ada 26 kartu merah di setumpuk.

    n = 5; karena kami secara acak memilih 5 kartu dari tumpukan.

    x = 2; karena 2 kartu yang kami pilih berwarna merah.

Kami memasukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus hipergeometrik sebagai berikut:

h ( x ; N , n , k ) = [ k C x ] [ (N-k) C (n-x) ] / [ N C n ]

h ( 2 ; 52 , 5 , 26 ) = [ 26C2 ] [ 26C3 ] / [ 52C5 ]

h ( 2 ; 52 , 5 , 26 ) = [325] [2600] / [2.598.960]

h ( 2 ; 52 , 5 , 26 ) = 0,32513

Dengan demikian, probabilitas pemilihan 2 kartu merah secara acak adalah 0,32513.

Probabilitas Hipergeometrik Kumulatif

Sebuah probabilitas hipergeometrik kumulatif mengacu probabilitas bahwa variabel acak hipergeometrik lebih besar dari atau sama dengan beberapa batas bawah yang ditentukan dan kurang dari atau sama dengan beberapa batas atas yang ditentukan.

Misalnya, kita secara acak memilih lima kartu dari setumpuk kartu remi biasa. Kami mungkin tertarik dengan probabilitas hipergeometrik kumulatif untuk mendapatkan 2 hati atau lebih sedikit. Ini akan menjadi kemungkinan mendapatkan 0 hati ditambah kemungkinan mendapatkan 1 hati ditambah kemungkinan mendapatkan 2 hati, seperti yang ditunjukkan pada contoh di bawah ini.

Contoh

Misalkan kita memilih 5 kartu dari setumpuk kartu remi biasa. Berapa probabilitas untuk mendapatkan 2 hati atau kurang?

Solusi: Ini adalah eksperimen hipergeometrik di mana kami mengetahui hal-hal berikut:

    N = 52; karena ada 52 kartu dalam satu tumpukan.

    k = 13; karena ada 13 hati dalam satu dek.

    n = 5; karena kami secara acak memilih 5 kartu dari tumpukan.

    x = 0 sampai 2; karena pilihan kami mencakup 0, 1, atau 2 hati.

Kami memasukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus hipergeometrik sebagai berikut:

h ( x < x; N , n , k ) = h ( x < 2; 52 , 5 , 13 )

h ( x < 2; 52 , 5 , 13 ) = h ( x = 0; 52 , 5 , 13 ) + h ( x = 1; 52 , 5 , 13 ) + h ( x = 2; 52 , 5 , 13 )

h ( x < 2; 52 , 5 , 13 ) = [( 13C0 ) ( 39C5 ) / ( 52C5 )] + [( 13C1 ) ( 39C4 ) / ( 52C5 )] + [( 13C2 ) ( 39C3 ) / ( 52C5 )]

h ( x < 2; 52 , 5 , 13 ) = [(1) (575.757) / (2.598.960)] + [(13) (82.251) / (2.598.960)] + [(78) (9139) / (2.598.960) ]

h ( x < 2; 52 , 5 , 13 ) = 0,2215 + 0,4114 + 0,2743

h ( x < 2; 52 , 5 , 13 ) = 0,9072

Jadi, kemungkinan memilih secara acak paling banyak 2 hati adalah 0,9072.