Soal dan Pembahasan OSK Matematika 2015 SMA

1. Banyaknya faktor bulat positif dari 2015 adalah .... 

2015=5×13×31

Banyak faktor (1+1)(1+1)(1+1)=8

2. Suatu dadu ditos enam kali. Probabilitas jumlah mata yang muncul 9 adalah .... 

1+1+1+1+1+4=9 Banyak susunan=6!/5!=6

1+1+1+1+2+3=9 Banyak susunan=6!/4!=30

1+1+1+2+2+2=9 Banyak susunan=6!/3!3!=20

Banyak kemungkinan dalam 6 pelemparan 66

Peluang jumlah mata 9=56/66

3. Jika (f o g)(x) = 7x+3/5x-9 dan g(x) = 2x–4, maka nilai f(2) adalah .... 

(fog)=f(g(x))

2=g(x)

2=2x-4

x=3

(fog)=24/6=4

4. Diberikan trapesium ABCD, dengan AB sejajar DC dan AB = 84 serta DC = 25. Jika trapesium ABCD memiliki lingkaran dalam yang menyinggung keempat sisinya, keliling trapesium ABCD adalah .... 

Jika lingkaran dalam menyinggung 4 sisi trapesium sehingga K=2(84+25)=218

5. Diketahui barisan bilangan real a1, a2, … , an, … merupakan barisan geometri. Jika a1 + a4 = 20, maka nilai minimal dari a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 adalah …. 

a+ar3=20

a(1+r3)=20

S6=a(r6-1)/r-1=a(r3+1)(r2+r+1)

=20(r2+r+1)

Nilai minimum persamaan kuadrat

Min=-(b2-4ac)/4a=3/4

MinS6=20×3/4=15

6. Bilangan bulat x jika dikalikan 11 terletak diantara 1500 dan 2000. Jika x dikalikan 7 terletak antara 970 dan 1275. Jika x dikalikan 5 terletak antara 960 dan 900. Banyaknya bilangan x sedemikian yang habis dibagi 3 sekaligus habis dibagi 5 ada sebanyak …. 

1500<x<2000=1500/11<x<2000/11

=136,...<x<181,... 

970<7x<1275=138,...<x<182,... 

690<5x<900=138<x<180

Sehingga didapat

138<x<180

x habis dibagi 3 dan 5 maka x habis dibagi 15

x={150, 165} ada 2

7. Suatu sekolah mempunyai lima kelompok belajar siswa kelas 11. Kelompok-kelompok belajar itu berturut-turut mengirimkan 2, 2, 2, 3, dan 3 siswa untuk suatu pertemuan. Mereka akan duduk melingkar sehingga setiap siswa memiliki paling sedikit satu teman dari kelompok belajar yang sama yang duduk disampingnya. Banyaknya cara melakukan hal tersebut adalah …. 

Banyak kelompok=5

2 orang 1 kelompok juga 3 orang dianggap 1 kelompok karena jika dihitung 2 maka 1 lagi sendirian dan harus duduk bersebelahan dengan salah satu dari 2 orang lainnya.

Maka banyak cara duduk melingkar

=(5-1)!2!2!2!3!3!=4!2!2!2!3!3!

8. Diberikan segitiga ABC dengan sudut ABC = 90o. Lingkaran L1 dengan AB sebagai diameter sedangkan lingkaran L2 dengan BC sebagai diameternya. Kedua lingkaran L1 dan L2 berpotongan di B dan P. Jika AB = 5, BC = 12 dan BP = x, maka nilai dari 240/x adalah

Karena ∠ARB = 90o maka lingkaran berdiameter AB akan melalui titik R. 

Karena ∠BRC = 90o maka lingkaran berdiameter BC akan melalui titik R. Jadi, titik R = P.

AC ⋅ BP = AB ⋅ BC 

13 ⋅ BP = 5 ⋅ 12

BP=x=60/13 

240/x =52

9. Diketahui bilangan real positif a dan b memenuhi persamaan a4 + a2b2 + b4 = 6 dan a2 + ab + b2 = 4 Nilai dari a + b adalah …. 

a2+b2=4-ab

(a2+b2)2=(4-ab)2

a4+2a2b2+b4=16-8ab+a2b2

6+a2b2=16-8ab+a2b2

8ab=10

ab=5/4

(a+b)2=4+5/4=21/4

a+b=√21/4

10. Diketahui susunan 4 × 5 titik yang jarak ke kanan sama dan jarak ke bawah sama. Ada berapa segitiga (dengan luas positif) yang titik-titik sudutnya adalah ketiga titik pada susunan tersebut? 

Segitiga dibentuk dengan memilih 3 titik dari 20 titik

Banyak segitiga =20C3=1140

Agar memiliki nilai positip maka 3 titik tidak boleh garis lurus

3 titik horisontal=4×5C3=40

3 titk vertikal=5×4C3=20

3 titik diagonal berisi 4 titik=4×4C3=16

3 titik diagonal berisi 3 titik=8×3C3=8

Total segutiga yang tidak memenuhi syarat=40+20+16+8=84

Banyak segitiga yang didapat=1140-80=1056

11. Bilangan x adalah bilangan bulat positif terkecil yang membuat 31n + x . 96n merupakan kelipatan 2015 untuk setiap bilangan asli n. Nilai x adalah …. 

31n + x ⋅ 96n ≡ 1n + x ⋅ 1n (mod 5) ≡ 1 + x (mod 5) 

Jadi, x ≡ −1 (mod 5) ≡ 4 (mod 5) 

31n + x ⋅ 96n ≡ 5n + x ⋅ 5n (mod 13) Jadi, x ≡ −1 (mod 13) 

31n + x ⋅ 96n ≡ x ⋅ 3n (mod 31) FPB (3, 31) = 1 maka x ≡ 0 (mod 31) 

Teorema sisa cina

x≡ ai (mod ni)

a1=4

a2=-1

a3=0

N=n1×n2×...×ni

N=5×13×31=2015

Ni=N/ni

N1=2015/5=403

N2=2015/13=155

N3=2015/31=65

 Nixi≡ 1 mod ni

403x1≡ 3x1 mod 5≡ 1 mod 5

x1≡ 2 mod 5

155x2≡ 12x2 mod 13≡ 1 mod 13

x2≡ 12 mod 13

65x3≡ 3 mod 31≡ 1 mod 31

x3≡ 0 mod 31

x=a1N1x1+a2N2x2+a3×N3x3

=4×403×2-1×155×12+0×65×0

=3224-1860+0=1364

12. Semua bilangan bulat n yang memenuhi 120172222)(22345678nnnnnnnnnnp bulat adalah ….  

Semua bilangan bulat n yang memenuhi p(x)=n8+n7+n6+2n5+2n4+2n3+2017/n2-n+1 bulat adalah ….  

13. Diketahui a, b, c akar dari persamaan x3 – 5x2 – 9x + 10 = 0. Jika sukubanyak P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx – 2015 memenuhi P(a) = b + c, P(b) = a + c, P(c) = a + b, maka nilai dari A + B + C adalah ….  

14. Pada segitiga ABC, garis tinggi AD, garis bagi BE dan garis berat CF berpotongan di satu titik. Jika panjang AB = 4 dan BC = 5, dan CD = m2/n2 dengan m dan n relatif prima, maka nilai dari m – n adalah ….  

15. Banyaknya bilangan asli n ≤ 2015 yang dapat dinyatakan dalam bentuk n = a + b dengan a, b bilangan asli yang memenuhi a – b bilangan prima dan ab bilangan kuadrat sempurna adalah ….  

a>b sehingga

2b<n

2b<n<=2015, n bulat

2b<=2014

b<=1007

Karena a+b=n<=2015 dengan b<=1007 maka

a<=1008

Misalkan FPB(a,  b)  =  d 

Maka a =  dp dan b =  dq 

a  −  b =  d(p  −  q) bilangan prima.  Maka  d  =  1 

Karena  ab  kuadrat  sempurna  sedangkan  FPB  (a,  b)  =  1  maka  a  dan  b  masing-masing kuadrat  sempurna. 

a=x2

b=y2

x dan y bulat

a-b=(x+y)(x-y) prima

Maka x-y=1 dan x+y prima

a<=1008 sehingga x<=31,... karena x bulat maka x<=31

b<=1007 sehingga y<=31,... karena y bulat maka y<=31

x+y<=62 bilangan prima kurang dari 62 ada 18.

Karena FPB a dan b adalah 1 serta a dan b kuadrat sempurna, sehingga tidak mungkin x+y=2.

Maka banyak n=62-1=61

16. Tiga titik berbeda B, C, dan D terletak segaris dengan C diantara B dan D. Titik A adalah suatu titik yang tidak terletak digaris BD dan memenuhi |AB| = |AC| = |CD|. Jika diketahui ||||1||1||1BDCDBDCD maka besar sudut BAC adalah ….  

17. Masing-masing kotak pada papan catur berukuran 3 × 3 dilabeli dengan satu angka, yaitu 1, 2, atau 3. Banyaknya penomoran yang mungkin sehingga jumlah angka pada masing-masing baris dan masing-masing kolom habis dibagi oleh 3 adalah ….  

A B C

D E F

G H I

Ambil 4 kotak membentuk persegi misal A, B, D dan E.

Masing masing dari 4 kotak dapat diisi 3 kemungkinan 1,2 dan 3

Titik lainnya (C, F, G, H, I) menyesuaikan sehingga hanya dapat diisi oleh 1 kemungkinan sehingga ketiga titik garis lurus habis dibagi 3.

Banyak cara =3×3×3×3=81

18. Pada segilima beraturan ABCDE, diagonal-diagonalnya berpotongan di F, G, H, I dan J. misalkan S1 menyatakan luas segilima ABCDE dan S2 menyatakan luas segilima FGHIJ. Jika knmSS21, dengan k, m, n bilangan bulat positif dan n tidak memiliki faktor kuadrat selain 1, maka nilai dari k + m + n adalah …. 

19.  Suatu  permutasi  a1,  a2,  …,  a10  dari  {1,  2,  …,  10}  dikatakan  sebagai  suatu  permutasi  yang hampir  naik  jika  terdapat  tepat  satu  indeks  i  sehingga  ai1  >  ai.  Banyaknya  permutasi  hampir naik  yang mungkin adalah  …. 

20.  Untuk setiap bilangan real  a, didefinisikan  f(a) sebagai nilai maksimal dari 2 sin Nilai maksimal dari  f(a)  adalah ….